Konikler nedir?

Tabanı daire şeklinde olan bir koninin bir düzlemle, şu veya bu yolda kesilmesinden elde edilen türlü kesit eğrilerine verilen ortak addır. Çember, elips, hiperbol ve parabol birer koniktir, Eliptik veya dairesel bir çift taraflı koninin, düzlemle kesitinden meydana gelen eğriler. Bunlar, elips, parabol ve hiperboldür.

Elips: Aralarındaki mesafe 2a olan ve odak noktaları denen iki noktaya uzaklıkları toplamı, sabit 2a’ya eşit olan noktaların geometrik yeridir. Elips oval bir eğri olup, iki dik simetri ekseni mevcuttur. Bunlar, bir M noktasında kesişirler. Bu eksenler koordinat takımı olarak alınırsa, elipsin denklemi; b 2 =a 2- c 2 olmak üzere x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 şeklinde belirir. Eğer c= 0 olursa, odaklar birbiriyle çakışır ve elips yarıçapı a=b eşit olan bir çembere dönüşür. (Bkz. Elips)

Hiperbol: Hiperbol, belirli iki noktaya olan mesafelerinin farkı, sabit 2a’ya eşit olan noktaların geometrik yeridir. Bu sabit noktalar, hiperbolün odak noktaları olarak isimlendirilir ve ara mesafesi 2c olarak gösterilir. Hiperbolün iki ayrı kolu mevcut olup, birbirine dik iki simetri ekseni mevcuttur. Bu eksenlere göre hiperbolün denklemi, b 2 =c 2 -a 2 olmak üzere x 2 /a 2 -y 2/ b 2 =1 olarak yazılır. y=± bx/a doğruları hiperbolün asimptotlarıdır.

Parabol: Parabol, belirli bir noktaya ve bir doğruya uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeridir. Bu belirli noktaya parabolün odak noktası denir. Bu noktadan doğruya çizilen dik doğru, parabolün simetri eksenini teşkil eder. Parabolün bu eksene ve tepe noktasından geçen dik eksene göre denklemi y 2= 2px olarak belirir.

Koniklerin genel denklemi: Dik x ve y koordinat ekseninde ikinci dereceden genel bir denklem; Ax 2+ 2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0 olarak belirir. Eğer A,C ve F katsayılarının hepsi birden sıfır değilse bu bir konik kesitini gösterir. Ancak bu halde konik kesiti yanında birbirini kesen iki doğru veya iki paralel doğru, üst üste bulunan iki doğruyu da kapsar. Bunlar b 2 x 2 - a 2 y 2 = 0 (x+a)= 0 veya x 2 = 0 olabilir. Ayrıca koniğin, x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = -1 gibi sanal da (izafi de) olabilir ve x ve y koordinat ekseninde gösterilmez. İki konik en fazla dört noktada kesişir.

Tarihi gelişimi: İlk koni ile ilgilenen M.Ö. 350 civarında Menaechmus olmuştur. Bu konuda ilk kitap M.Ö. 320’de Euclid tarafından yazıldığı tahmin edilmektedir. Günümüze kadar gelen kitap M.Ö. 225’ten, Apollonius’un Konikler kitabıdır. Arşimet (M.Ö 287-212), konikleri tanımaktaydı ve çalışmalarında bunları kullanmıştır. Abbasi alimlerinden Beni Musa’nın konikler üzerine yazdığı Kitab-ül-Mahrutat kitabı meşhurdur. Ebu Sa’id-el-Siczi ise koni kesitlerini incelemiştir.

Konik kelimesi, Apollonius tarafından verilmiştir. y 2 = 2px+ax 2 ifadesinde eğer a<0 ise hiperbol a>0 ise elips ve a=0 ise parabol ortaya çıkar. Rönesansta, özellikle Kepler, gezegenlerin eliptik yörünge üzerindeki hareketini keşfettikten sonra, koniklere olan ilgi tekrar canlanmıştır. Descartes’in 1637’de analitik geometriyi keşfetmesinden sonra, cebirsel metodlar eski geometrik metodların yerini almıştır. Günümüzde konikler, ders kitaplarında, daha çok analitik geometrinin konusu olarak anlatılmaktadır.

Yorumlar

Bu sayfa ait yorum bulunamadı. İlk yorum yapan siz olun.

Yorum ekle

Vazgeç